手册

live-math 的全部功能，逐行、逐个按键说明。每个示例左侧是输入的内容，右侧是学生看到的效果。

1它是什么

live-math 是一块用键盘书写的数学白板。你在编辑器中一行一行地用 AsciiMath 书写；观看的人会同步看到排版好的文稿，包括图像和符号表。它的目的是讲解：画出有助于学生发现规律的内容，而从不替你解题。

它由三部分组成：

编辑器（/editor）：你书写的地方。只有你能看到它，以及你的私人备注。
观看页：只显示排版好的文稿，没有任何按钮。它在编辑器旁边的标签页中打开（Alt+V），可用于视频通话共享。
直播：学生通过链接（Alt+L）在自己的设备上看到同一个观看页。面向获授权的教师。

你需要一台装有较新 Chrome、Edge、Firefox 或 Safari 的电脑。学生只需要一个浏览器，手机上的也可以，无需账号。

编辑器、观看页和导出功能免费，且无需账号。直播、云端文稿和已发布文稿需要教师账号，账号同样免费：申请一个。

2最初的几步

2.1文稿保存在哪里

第一次使用时，编辑器会询问文稿的保存位置。每份文稿都是一个文本文件， name.math；可选的位置取决于浏览器：

电脑上的文件夹（Chrome、Edge）：“选择文稿文件夹”。浏览器会请求权限；下次打开时，编辑器会自动重新打开该文件夹和上次的文稿，或者只需点一下即可重新打开。“选择其他文件夹”可以选择其他文件夹。
此浏览器的存储空间（Firefox、Safari）：“开始”，或者用“导入文稿……”从已有文稿开始。清除网站数据或使用无痕浏览都会让文稿丢失：请保留备份（8.5）。Firefox 的无痕窗口中完全没有存储空间。
云端，面向获授权的教师：“登录并使用云端”，使用 Google 账号或邮箱验证码。同一批文稿可在任意电脑和浏览器上使用。

本地位置和云端可以同时使用：每份文稿只存在其中一处，但同一个列表会同时显示两者（8.4）。第一次启动时，编辑器会写一份演示文稿 demo，里面各类内容都有一些。

2.2界面

编辑器就是一页纯文本，除了底部的一条状态栏，周围什么都没有。其他功能都在命令面板（Ctrl+K）和帮助（F1）中。

底部状态栏从左到右依次显示：

文稿名称，在云端时后面带有“（云端）”；
文稿已保存时不显示内容；否则显示“已修改”“保存中…”，或未能保存的原因（“未保存：无法连接云端”“冲突”……）；
打开观看页标签页时，显示带绿点的“观看页”；
直播期间，显示带圆点的“直播中”（已连接时为绿色）以及正在观看的人数；
有隐藏步骤时，显示还剩多少步可以显示（“隐藏 · 3”）；
右侧是用强调色显示的简短提示：刚刚发生了什么，或者接下来该做什么。

有时文稿上方会出现一条横栏，带有按钮：

“磁盘上的文件被修改了。”（也可能是云端或另一个标签页）：选择“重新加载”采用另一个版本，选择“保留我的”用你的版本覆盖它。
“发现未保存的版本。”：上次未能保存的文本（浏览器先关闭了）。可选择“恢复”或“丢弃”。
在打开云端文稿时，需要重新打开文件夹才能看到电脑上的文稿：选择“重新打开”或“不再提示”。

Ctrl+\ 会打开侧边预览：观看页显示在编辑器右侧。拖动两者之间的分隔线，可以给某一侧更多空间；双击可恢复到一半。

2.3命令面板与帮助

Ctrl+K 打开命令面板：所有命令，右侧标有快捷键。输入几个字母即可筛选（不必连续：黑板 能搜到“观看页：黑板主题”），用方向键移动（或 Ctrl+N、Ctrl+P），Enter 执行，Esc 或点击外部关闭。同一个框也会用来输入名称或请求确认（“是”或“否”）。完整列表见 §11。

F1 在一页中显示语法、快捷键和片段，并附有指南和本手册的链接；F1 或 Esc 关闭。

3书写文稿

3.1行与块

每一行都是一个公式，用 AsciiMath 书写（§4）。行首的几个字符会让它变成别的内容：

行首这一行是

x^2 + 1 公式：其他任何内容

# Title 标题（# 后加一个空格）

## Subtitle 副标题

" text `x^2` **bold** 文本，反引号之间可写公式，双星号之间为粗体

! x = 2 结果，放在方框中

% note 私人备注：永远不会离开编辑器，哪怕只写了一半

%> = 4 隐藏步骤，这里是整行：在你按 Alt+R 之前，任何观看页都看不到。在行中间，%> 会从该处开始隐藏，直到 <% 为止（6.5）

--- 分隔线；在 PDF 中表示分页（三个或更多短横线，且没有其他内容）

plot: gon: sign: system: 图形（§5）

= x + 1 上一行公式的下一步（3.3）

行首	这一行是
`x^2 + 1`	公式：其他任何内容
`# Title`	标题（`#` 后加一个空格）
`## Subtitle`	副标题
" text `x^2` bold	文本，反引号之间可写公式，双星号之间为粗体
`! x = 2`	结果，放在方框中
`% note`	私人备注：永远不会离开编辑器，哪怕只写了一半
`%> = 4`	隐藏步骤，这里是整行：在你按 `Alt+R` 之前，任何观看页都看不到。在行中间，`%>` 会从该处开始隐藏，直到 `<%` 为止（6.5）
`---`	分隔线；在 PDF 中表示分页（三个或更多短横线，且没有其他内容）
`plot:` `gon:` `sign:` `system:`	图形（§5）
`= x + 1`	上一行公式的下一步（3.3）

空行会留出一些间距；多个空行留出的间距相同。行首的空格对公式没有影响，但对前缀有影响： # 标题 会被当作公式。

3.2标题、文本、结果、备注

# 极限
## 一个重要极限
" 对**每个** `epsilon > 0`，都存在 `delta > 0`
% 提醒他们 x -> 0^- 的情形
lim_(x->0) sin x / x = 1
! e^(i pi) + 1 = 0
---

极限

一个重要极限

对每个 $ϵ > 0$ ，都存在 $δ > 0$

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

e^{iπ} + 1 = 0

在文本行中，公式以反引号（`）开始和结束；只写了一个反引号时，输入过程中也会按公式显示。**粗体** 只在文本行中有效。备注不会出现在观看页，也不会出现在任何导出文件中。

3.3推导的步骤

以关系符开头的行会续写上一行的公式，并与它的第一个关系符对齐：这就是计算过程的各个步骤，每行一步。

f(x) = x^2 e^x
f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x
= x e^x (2 + x)
>= 0 " 若 " x >= 0

f (x) = x^{2} e^{x}

f^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x e^{x} (2 + x) \geq 0 若 x \geq 0

可以作为步骤开头的关系符：= != < > <= >= ~~ ~= ~ -= => <=> -> :=。第一行会对齐到括号、绝对值和引号文本之外的第一个关系符。行与行之间的备注不会打断推导。

3.4小数逗号

开启小数逗号时（命令面板中的“小数逗号：开启”和 “小数逗号：关闭”可开启和关闭），两个数字之间的逗号就是小数逗号：3,14 显示为 $3, 14$ 。如果逗号后跟空格，它就是分隔符： (1, 2) 是一个数对。不加空格的一串数字 {1,2,3} 仍然是列表，矩阵的单元格也是如此。关闭小数逗号时，3.14 就是小数点。

pi ~~ 3,14
(1, 2) " 是一个数对，" {1,2,3} " 是一个集合"

π \approx 3, 14

(1, 2) 是一个数对， {1, 2, 3} 是一个集合

3.5当某一行出错时

无法排版的行在编辑器中会有红色波浪下划线；把鼠标移上去会显示原因（例如“tangent(f, a)：需要函数和切点”）。观看页永远不会看到错误：它们会继续显示该行上次正常时的样子，所以共享屏幕上不会出现半截公式闪烁。

3.6片段与输入辅助

输入下列单词之一，然后按 Tab：它会变成右侧的模板，用 Tab / Shift+Tab 在各个字段之间移动。在其他地方， Tab 用于缩进。

单词 + Tab 变成

lim Tab lim_(x->0)

int Tab int_(a)^(b) f(x) dx

sum Tab sum_(n=1)^(oo)

der Tab (d)/(dx)

pd Tab (del f)/(del x)

sys Tab {(),():}

cas Tab {(, "若 " ),(, "若 " ):}

mat Tab [[a,b],[c,d]]

det Tab |(a,b),(c,d)|

vec Tab ((x),(y),(z))

sq Tab sqrt()

rt Tab root(n)()

abs Tab |x|

fr Tab ()/()

单词 + Tab	变成
`lim` `Tab`	`lim_(x->0)`
`int` `Tab`	`int_(a)^(b) f(x) dx`
`sum` `Tab`	`sum_(n=1)^(oo)`
`der` `Tab`	`(d)/(dx)`
`pd` `Tab`	`(del f)/(del x)`
`sys` `Tab`	`{(),():}`
`cas` `Tab`	`{(, "若 " ),(, "若 " ):}`
`mat` `Tab`	`[[a,b],[c,d]]`
`det` `Tab`	`\|(a,b),(c,d)\|`
`vec` `Tab`	`((x),(y),(z))`
`sq` `Tab`	`sqrt()`
`rt` `Tab`	`root(n)()`
`abs` `Tab`	`\|x\|`
`fr` `Tab`	`()/()`

括号 ( [ { 会自动闭合，匹配的括号会高亮；引号不会，因为 " 用于开始文本行。编辑器会对语法着色：函数、希腊字母、数字、前缀。Ctrl+Z 撤销，Alt+↑/Alt+↓ 上下移动一行。

4AsciiMath，逐个符号说明

AsciiMath 是一种简短的公式写法，接近你在聊天框里输入数学的方式。下面是它支持的全部内容（此处所用的版本）：左侧是输入（并列的别名效果相同），右侧是显示效果。

所有符号都列在一页中，每个都附有 LaTeX，还有可以试用的输入框：AsciiMath 速查表。

4.1分数、上下标与根式

/ 会把紧邻它前后的内容变成分数：一个符号、一个数字，或括号中的一组内容。^ 和 _ 分别用于指数和下标，作用相同。分子、分母、指数或下标外面的括号不会显示： (a+1)/(b+1) 显示为 $\frac{a + 1}{b + 1}$ ，x^(n+1) 显示为 $x^{n + 1}$ 。要保留括号，就写两重： ((a+b))/2 显示为 $\frac{( a + b )}{2}$ 。在其他位置，括号会保留： (a+b)^2 显示为 $(a + b)^{2}$ 。

空格只起分隔作用：sinx 和 sin x 相同，都是 $sin x$ 。相邻的字母表示乘积：ab 是 $ab$ 。注意由字母组成的名称：xx 是 $\times$ ，in 是 $\in$ ，oo 是 $\infty$ ；加一个空格就能把字母分开： x x。

x^2

x^{2}

x_1

x_{1}

x_1^2

x_{1}^{2}

x^(n+1)

x^{n + 1}

a/b

\frac{a}{b}

(a+1)/(b+1)

\frac{a + 1}{b + 1}

frac(a)(b)

\frac{a}{b}

sqrt x Sqrt x

x

sqrt(x+1)

x + 1

root(3)(x)

3 x

stackrel(def)(=)

= d e f

overset(*)(=)

= \cdot

underset(x->0)(=)

x \to 0 =

cancel(x)

x

color(red)(x^2)

x^{2}

color 只给它的参数上色；颜色可以用名称指定（red、blue、green、orange、purple……）。

4.2希腊字母

alpha

α

beta

β

gamma

γ

Gamma

Γ

delta

δ

Delta

Δ

epsilon epsi

ϵ

varepsilon

ε

zeta

ζ

eta

η

theta

θ

Theta

Θ

vartheta

ϑ

iota

ι

kappa

κ

lambda lamda

λ

Lambda Lamda

Λ

mu

μ

nu

ν

xi

ξ

Xi

Ξ

pi

π

Pi

Π

rho

ρ

sigma

σ

Sigma

Σ

tau

τ

upsilon

υ

phi

ϕ

Phi

Φ

varphi

φ

chi

χ

psi

ψ

Psi

Ψ

omega

ω

Omega

Ω

4.3运算

a + b

a + b

a - b

a - b

a * b a cdot b

a \cdot b

a ** b a ast b

a * b

a *** b a star b

a ⋆ b

a xx b a times b

a \times b

a -: b a div b a divide b

a \div b

a // b

a / b

A \\ B A backslash B

A \ B

A setminus B

A ∖ B

a +- b a pm b

a \pm b

f @ g f circ g

f \circ g

a o+ b a oplus b

a \oplus b

a ox b a otimes b

a \otimes b

a o. b a odot b

a ⊙ b

p ^^ q p wedge q

p \land q

p vv q p vee q

p \lor q

A nn B A cap B

A \cap B

A uu B A cup B

A \cup B

A |>< B A ltimes B

A ⋉ B

A ><| B A rtimes B

A ⋊ B

A |><| B A bowtie B

A ⋈ B

a mod n

a mod n

4.4大型运算符、极限、积分

上下限写在 _ 和 ^ 之后；不止一个符号时要用括号。单独成行时，它们会排在运算符的上下方。

sum_(n=1)^oo a_n

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

prod_(i=1)^n x_i

\prod_{i = 1}^{n} x_{i}

int_a^b f(x) dx

\int_{a}^{b} f (x) d x

oint_gamma f(z) dz

\oint_{γ} f (z) d z

lim_(x->0) f(x)

lim_{x \to 0} f (x)

Lim_(n->oo) a_n

Lim_{n \to \infty} a_{n}

limsup_(n->oo) a_n

lim sup_{n \to \infty} a_{n}

liminf_(n->oo) a_n

lim inf_{n \to \infty} a_{n}

max_(x in A) f(x)

max_{x \in A} f (x)

min_(x in A) f(x)

min_{x \in A} f (x)

sup A

sup A

inf A

in f A

lub A

lub A

glb A

glb A

dim V

dim V

^^^_(i in I) p_i bigwedge_(i in I) p_i

⋀_{i \in I} p_{i}

vvv_(i in I) p_i bigvee_(i in I) p_i

⋁_{i \in I} p_{i}

nnn_(i in I) A_i bigcap_(i in I) A_i

⋂_{i \in I} A_{i}

uuu_(i in I) A_i bigcup_(i in I) A_i

⋃_{i \in I} A_{i}

4.5关系符

a = b

a = b

a != b a ne b

a \neq = b

a < b a lt b

a < b

a > b a gt b

a > b

a <= b a le b

a \leq b

a lt= b a leq b

a \leq b

a >= b a ge b

a \geq b

a gt= b a geq b

a \geq b

a -< b a -lt b a prec b

a ≺ b

a -<= b a preceq b

a ⪯ b

a >- b a succ b

a ≻ b

a >-= b a succeq b

a ⪰ b

x in A

x \in A

x !in A x notin A

x \in / A

A sub B A subset B

A \subset B

A sube B A subseteq B

A \subseteq B

A supset B

A \supset B

A supe B A supseteq B

A \supseteq B

a -= b a equiv b

a \equiv b

a ~= b a cong b

a ≅ b

a ~~ b a approx b

a \approx b

a prop b a propto b

a \propto b

a := b

a := b

a :|: b

a ∣ : b

4.6逻辑

p and q

p and q

p or q

p or q

not p neg p

\neg p

p => q

p \Rightarrow q

p implies q

p ⟹ q

p <=> q

p \Leftrightarrow q

p iff q

p ⟺ q

y = 1 if x > 0

y = 1 if x > 0

AA x forall x

\forall x

EE x exists x

\exists x

_|_ bot

⊥

TT top

⊤

p |-- q p vdash q

p ⊢ q

p |== q p models q

p ⊨ q

:. therefore

∴

:' because

∵

4.7括号

括号会随内容自动变大。{: x :} 是一对不可见的括号，适合用来分组；(: :) 是尖括号。|x| 表示绝对值：竖线在括号内成对匹配，所以 |x - a| < delta 会按字面意思正确排版。

(x)

(x)

[x]

[x]

{x}

{x}

|x|

∣ x ∣

(: x :) << x >> langle x rangle

⟨ x ⟩

|: x :|

∣ x ∣

{: x :}

x

lbrace x rbrace

{x}

abs(x) Abs(x)

∣ x ∣

norm(x)

∥ x ∥

floor(x) |__ x __| lfloor x rfloor

⌊ x ⌋

ceil(x) |~ x ~| lceil x rceil lceiling x rceiling

⌈ x ⌉

4.8箭头

uarr uparrow

↑

darr downarrow

↓

rarr rightarrow

\to

-> to

\to

>-> rightarrowtail

↣

->> twoheadrightarrow

↠

>->> twoheadrightarrowtail

↠

x |-> y x mapsto y

x \mapsto y

larr leftarrow

\leftarrow

harr leftrightarrow

\leftrightarrow

rArr Rightarrow

\Rightarrow

lArr Leftarrow

\Leftarrow

hArr Leftrightarrow

\Leftrightarrow

4.9函数

函数名用正体排版，后面跟参数，可以带括号也可以不带：sin x、 sin(x)、sin^2 x。f 和 g 只有出现在括号前才是函数：f(x)，而 f g 仍是乘积。

sin x

sin x

cos x

cos x

tan x

tan x

cot x

cot x

sec x

sec x

csc x

csc x

arcsin x

arcsin x

arccos x

arccos x

arctan x

arctan x

sinh x

sinh x

cosh x

cosh x

tanh x

tanh x

coth x

coth x

sech x

sech x

csch x

csch x

exp x

exp x

log x

lo g x

ln x

ln x

det A

det A

gcd(a, b)

g cd (a, b)

lcm(a, b)

lcm (a, b)

f(x)

f (x)

g(x)

g (x)

首字母大写的名称

Sin x

Sin x

Cos x

Cos x

Tan x

Tan x

Cot x

Cot x

Sec x

Sec x

Csc x

Csc x

Arcsin x

Arcsin x

Arccos x

Arccos x

Arctan x

Arctan x

Sinh x

Sinh x

Cosh x

Cosh x

Tanh x

Tanh x

Log x

Log x

Ln x

Ln x

意大利语函数名与线性代数

意大利教材中使用的函数名，以及线性代数的运算符。 Im 只有出现在括号前才表示像： Im(f)，而 Im z 仍是乘积。

sen x

sen x

arcsen x

arcsen x

tg x

tg x

arctg x

arctg x

cotg x

cotg x

arccotg x

arccotg x

sh x

sh x

ch x

ch x

th x

th x

settsh x

settsh x

settch x

settch x

rg A

rg A

rank A

rank A

Ker f

Ker f

Im(f)

Im (f)

tr A

tr A

span(v, w)

span (v, w)

4.10重音符号

hat x

x^

bar x overline(x)

x

vec v

v

tilde x

x ~

dot x

x ˙

ddot x

x ¨

ul(x) underline(x)

x

ubrace(1+2)_3 underbrace(1+2)_3

3 1 + 2

obrace(1+2)^3 overbrace(1+2)^3

1 + 2 3

字体

bb(A) mathbf(A)

A

bbb(R) mathbb(R)

R

cc(F) mathcal(F)

F

tt(x) mathtt(x)

x

fr(g) mathfrak(g)

g

sf(x) mathsf(x)

x

4.11公式中的文本

双引号之间的文字保持为文字：x = 1 " 若 " y > 0。文字紧贴符号时会自动加一个细空格，所以 "对所有"x 不会挤在一起。 and、or、if 作为单词时本身已有间距。

x = 1 "and" y = 2

x = 1 and y = 2

text(text) mbox(text)

text

4.12矩阵、向量、方程组

矩阵就是一串行，每行放在括号中，用逗号分隔： [[1,2],[3,4]] 用方括号，((1,2),(3,4)) 用圆括号， |(a,b),(c,d)| 表示行列式。列向量就是只有一列的矩阵。方程组是左侧带 {、右侧为空 :} 的矩阵：

A = [[1,2],[3,4]]
det A = |(1,2),(3,4)| = -2
vec v = ((x),(y),(z))
{(x + y = 1),(x - y = 2):}
|x| = {(x, " 若 " x >= 0),(-x, " 若 " x < 0):}

A = [1324]

det A = 1324 = - 2

v = x y z

{x + y = 1 x - y = 2

∣ x ∣ = {x - x 若 x \geq 0 若 x < 0

4.13其他符号

del partial

\partial

grad nabla

\nabla

oo infty

\infty

O/ emptyset

\emptyset

aleph

ℵ

/_ angle

∠

/_\ triangle

△

diamond

⋄

square boxempty

□

frown

⌢

... ldots

\dots

cdots

\dots

vdots

⋮

ddots

⋱

a quad b

a b

a qquad b

a b

a \ b

a b

50%

50%

NN

N

ZZ

Z

QQ

Q

RR

R

CC

C

f'(x) f prime(x)

f^{'} (x)

f''(x)

f^{''} (x)

f'''(x)

f^{'''} (x)

x^2 dx

x^{2} d x

dy

d y

dz

d z

dt

d t

4.14有特殊含义的字符

&、#、$ 和 % 按原样显示；单独的 ~ 是 $\sim$ 。'、 ''、''' 分别表示一、二、三撇。一个 \ 后跟空格是细空格；\\ 是反斜杠。dx、dy、 dz、dt 是微分，前面会自动加一点空隙： int x^2 dx。

5图形

以 plot:、gon:、sign: 或 system: 开头的行会被绘制成图形。各部分用分号分隔，顺序无关。图形使用观看页的配色，任意大小都清晰，标注与文稿其余部分一样排版。

5.1图形中的表达式

图形中的表达式会被计算，因此使用的语言比 AsciiMath 小：

变量是 x（在复平面中是 z，i 为虚数单位）；常量：pi、e；
运算：+ - * / ^，遵循通常的优先级（-x^2 是 $- (x^{2})$ ）；乘法可以省略：2x、x sin x、2pi；|x| 表示绝对值；
函数：sin cos tan cot（以及 sen tg cotg）、arcsin arccos arctan（以及 arcsen arctg）、sinh cosh tanh（以及 sh ch th）、ln、log（自然对数，同 ln）、exp、sqrt、root(n)(x)、abs、floor、ceil、sgn；
函数的参数写在括号里，或者取到下一个函数之前的内容：sin 2x 是 $sin (2 x)$ ；sin^2 x 是 $(sin x)^{2}$ ；负数的奇次根是实数（root(3)(-8) 为 −2）；
数字：0.5，开启小数逗号时为 0,5；小数逗号后不加空格。

5.2图像：`plot:`

最多四个关于 x 的函数，各有颜色和图例。y = f 与 f 相同。点是括号中的数对；x = a 是竖直线。

plot: sin x; x - x^3/6; x in [-2pi, 2pi]; y in [-2, 2]

- \frac{3 π}{2}

- π

- \frac{π}{2}

\frac{π}{2}

π

\frac{3 π}{2}

y = sin x

y = x - \frac{x ^{3}}{6}

plot: x^2; (1, 1); (-2, 4); x = 2

2

y = x^{2}

x = 2

(1, 1)

(- 2, 4)

窗口。x in [a, b] 和 y in [c, d] 决定显示的范围。不写时，x 从 −5 到 5（如果有函数或点在外面，范围会扩大），y 则跟随函数，并略去渐近线附近发散的部分。如果 x 的区间用 pi 书写，刻度就是 π 的倍数。 5.11 可以用键盘移动窗口。

函数和竖直线合计最多四个；同一个函数即使出现在多个部分中，也只绘制一次。

5.3定义域与分段函数

在逗号加一个空格之后，函数可以带定义域，只在定义域内绘制：x in [a, b]（开区间端点用圆括号，无界时用 oo： [0, +oo)），或者用关于 x 的不等式： a <= x < b、x > a。实心点表示端点属于定义域，空心点表示不属于；函数趋于无穷的地方不画点。

plot: x^2, x in [-2, 2]; 3 - x, 1 < x <= 4

y = x^{2}, x \in [- 2, 2]

y = 3 - x, 1 < x \leq 4

分段函数的写法与 AsciiMath 中相同（4.12）：每一段一行，写出函数及其定义域，定义域可以写在 if 之后，也可写成引号中的文字。定义域可以是单独一个点，x = a。它仍然是一个函数、一种颜色：跳跃处或单独定义处画点，各段相接处不画。

plot: {(x^2, " 若 " x < 1), (3 - x, " 若 " x >= 1):}; x in [-2, 4]

y = {x^{2} 3 - x 若 x < 1 若 x \geq 1

当每个函数都有有界定义域时，窗口会适配这些定义域和原点；用 pi 书写的定义域，其刻度为 π 的倍数。逗号后不加空格时，它就是小数逗号：0,5 < x 仍然是一个不等式。

5.4零点、方程、不等式

roots(f) 绘制 f 及其零点，并标出取值。方程会画出两边及其交点；不等式会在 x 轴上标出成立的范围，端点用实心点和空心点。双重不等式 -1 < f(x) <= 2 也可以。取值是特殊值时，标注为精确值（5.10）。

plot: roots(sin x); x in [-2pi, 2pi]

- 2 π

- π

π

2 π

- \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2}

\frac{π}{2}

\frac{3 π}{2}

y = sin x

plot: x^2 = 2x + 1

1 - 2

1 + 2

y = x^{2}

y = 2 x + 1

x^{2} = 2 x + 1

plot: x^2 - 1 > 0; x in [-3, 3]

- 1

1

y = x^{2} - 1

x^{2} - 1 > 0

无解的条件会在图例中说明。在窗口内有无穷多个零点的函数（如 0 附近的 sin(1/x)）会提示缩小窗口。

5.5切线、导数、面积

tangent(f, a) 绘制 f、在 x = a 处的切线及其方程（导数为无穷时是竖直线）。derivative(f) 绘制 f' 的曲线。area(f, a, b) 填充 f 与坐标轴之间从 a 到 b 的区域，并标出积分；f 变号时也会标出面积。

plot: x^2; tangent(x^2, 1)

y = x^{2}

y = 2 x - 1

plot: sin x; derivative(sin x); x in [-2pi, 2pi]

- \frac{3 π}{2}

- π

- \frac{π}{2}

\frac{π}{2}

π

\frac{3 π}{2}

y = sin x

y = (sin x)^{'}

plot: area(x^2 - 1, 0, 2)

2

y = x^{2} - 1

\int_{0}^{2} x^{2} - 1 d x = \frac{2}{3}, A = 2

它们的参数之间用逗号加一个空格分隔，这样参数内部的小数逗号仍然有效：area(x^2, 0,5, 2)。如果完全不写空格，每个逗号都是分隔符。这些词只有作为完整单词时才会被识别：tan(1) 仍然是正切函数。

5.6复平面

出现 i 或 z 时，图像会变成复平面，两轴使用相同的比例。一个数是一个点，并画出从原点出发的射线。对整个表达式取根， w^(1/n)、root(n)(w) 或 sqrt(w)，会显示全部取值，画在同一个圆上，并命名为 $z_{0}, z_{1}, \dots$ 。关于 z 的方程必须是多项式：它的根会被画出来。

plot: (3+4i)^(1/8)

Re

Im

z_{0}

z_{1}

z_{2}

z_{3}

z_{4}

z_{5}

z_{6}

z_{7}

(3 + 4 i)^{\frac{1}{8}}

plot: z^2 + 2z + 5 = 0; 2e^(i pi/3)

Re

Im

z_{0}

z_{1}

z^{2} + 2 z + 5 = 0

2 e^{i \frac{π}{3}}

一张图像要么是实数，要么是复数：x 和 z 不能混用。最多四个元素；不能画不等式。

5.7单位圆：`gon:`

gon: 绘制三角圆。一个角（pi/3）是一条半径及其在坐标轴上的投影，是特殊角时会标注。一段弧是一个角度区间：[a, b]、(a, b)、[a, b)、 (a, b]，两端可开可闭。关于 x 的方程或不等式会显示它的解：点或弧。

gon: sin x >= 1/2

\frac{1}{2}

\frac{π}{6}

\frac{5 π}{6}

sin x \geq \frac{1}{2}

gon: cos x > -sqrt2/2; tan x > 1

- \frac{2}{2}

- \frac{3 π}{4}

\frac{3 π}{4}

1

\frac{π}{4}

\frac{π}{2}

\frac{3 π}{2}

cos x > - \frac{2}{2}

tan x > 1

gon: pi/3; [pi, 3pi/2)

π

\frac{3 π}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

\frac{π}{3}

与数值比较时，sin x、cos x、tan x 和 cot x 还会画出对应的线：水平线、竖直线、在 $(1, 0)$ 或 $(0, 1)$ 处的切线。非特殊角会按其弧来命名： $α = arcsin (\frac{1}{3})$ ，然后是 $π - α$ 。 x in [a, b] 限定求解范围，最多一圈（圆上其余部分用虚线表示）；不写时为一整圈，跨过 0 的弧从负角开始。条件和弧合计最多四个。

5.8符号表：`sign:`

sign: 接受一个乘积或商，可以单独书写，也可以写成一侧为 0 的不等式；它会按你写的形式为每个因式画一行（正的部分为实线，负的部分为虚线），再画出乘积的一行及其符号，如果是不等式，还会给出解。

sign: (x - 1)(x + 2)/(x - 3) >= 0

- 2

1

3

x - 1

x + 2

x - 3

-

0

+

0

-

∄

+

- 2 \leq x \leq 1 \lor x > 3

它不会替你因式分解：这些步骤要由你展示。分母的零点是空心点，乘积行在该处显示 ∄。负常数单独占一行。临界点等距排列，如同在黑板上，并用特殊值或在图例中定义的 $x_{1}, x_{2}, \dots$ 标注。最多六行、十二个点；如果有无穷多个（如 sin x），可用 x in [a, b] 缩小范围。

5.9不等式组：`system:`

每部分一个不等式，左右形式随意，双重不等式也可以：每个不等式一行，成立处为实线，最后一行是它们同时成立的范围。

system: x^2 - 1 > 0; x < 3; 2x + 1 >= 0

- 1

- \frac{1}{2}

1

3

x^{2} - 1 > 0

x < 3

2 x + 1 \geq 0

1 < x < 3

5.10精确标注

零点、交点、角度和面积的端点，如果是特殊值，会标注精确值：分数、 $π$ 及其分数、 $2$ 和其他根式、 $\frac{1 + 5}{2}$ 、 $e$ 、 $ln 3$ 。否则给出近似值， $\approx 1.73$ 。会互相重叠的标注会被省略。

5.11移动图像窗口：`Alt+G`

把光标放在 plot: 行上，按 Alt+G 会高亮该行，按键可以移动显示范围：方向键按一个刻度移动窗口， Shift+方向键向该侧扩展，+ 和 - 缩放（步长为 1、2、5、10……，当 x 以 π 为单位时则为 π 的倍数）， 0 回到自动窗口。Esc、Enter、Alt+G、点击或其他按键都会结束。

每次按键都会直接改写行中的 x in [...]; y in [...]，所以学生能看到图像移动，而这一行始终是唯一的依据。一次 Ctrl+Z 就能撤销整个调整。复平面始终保持正方形；单位圆没有窗口。

6展示

6.1观看页

Alt+V 在新标签页中打开观看页：只有文稿，没有你的备注，每次按键都会更新。在视频通话中共享这个标签页（打开期间，编辑器中的 “观看页”会变绿）。最好用两块屏幕：一块放编辑器，另一块共享观看页。

Chrome 和 Edge 可以只共享一个标签页。Firefox 和 Safari 共享窗口或整个屏幕：把观看页的标签页拖出成独立窗口，再共享那个窗口。

观看页会跟随你所在的行：这一块左侧会显示一条横条（当前块），文稿会滚动以保持它在视野中。超出栏宽的公式会稍微缩小。

6.2显示效果

以下设置会同时改变所有观看页，包括学生的设备：

Alt+= / Alt+-：放大或缩小（70% 到 200%）；
Alt+T：纸张（浅色）或黑板（深色）；
Alt+S：当前块的横条和正在书写步骤的颜色，开启或关闭；
小数逗号（命令面板），它也会改变图形中数字的写法。

6.3选区与当前步骤

在编辑器中用鼠标或键盘选中一些内容，它会在每个观看页上发光：正是那些符号，就在公式中的原位置。要指向分数里的根号，就选中 sqrt(Delta)：

x = (-b +- sqrt(Delta))/(2a)

x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

选区一碰到某个符号，整个符号就会发光（选中 123 的一半，整个 123 都会亮）；函数按名称连同参数一起（sqrt、sin、frac）；字母连同它的指数、重音或撇号（x^2 中的 x、vec u 中的 u、f' 中的 f）。任何东西都不会移动，绘图也始终留在所属符号上。
跨多行也可以：选区内的每个公式和文本行都会在相应位置发光。图形、备注和隐藏步骤从不发光，整份文稿全选（Ctrl+A）也不会。

没有选区时，你正在书写的步骤会用强调色显示：从上一个关系符（=、<=、=>……）到下一个关系符之间的部分。在行尾书写时，它就是刚写下的内容；修改前面的内容时，它就是你正在修改的那一步。文本行或标题算一步；图形没有步骤，有横条就够了。

Delta = b^2 - 4ac = 25 - 24

Δ = b^{2} - 4 a c = 25 - 24

Alt+S 会连同横条一起关闭步骤显示；选区始终会发光。导出文件和已发布文稿不带有这些标记。

6.4指点与标记

在观看页标签页或侧边预览中，鼠标会变成所有观看者都能看到的指针。拖动即可绘图：圈出一个项、在某一步下画线、划掉一个因式。 Shift+拖动可以高亮一个方框。Esc（在编辑器或观看页中）清除绘图。

标记会在每个观看页上留在所属符号处，手机也一样，不论屏幕大小如何；在上方插入行时，它们会随所属块一起移动。输入时指针会隐藏。最多 32 个标记，超出后最早的会被移除。Alt+P 开启或关闭指针和绘图。想不用鼠标指点某个符号，就选中它（6.3）。

6.5隐藏步骤

趁学生思考时写下后续步骤，或者课前写好整份解答，到时机再显示。 %> 会把后面的内容对所有观看页隐藏，直到 <% 或行尾，直到你显示它；Alt+H 会替你写入这些标记。同一份文稿，在你的侧边预览中和学生看到的样子：

lim_(x->oo) e^-x %>= lim_(x->oo) 1/(e^x) %>= 0
f(x) = x^2 e^x
%>= x e^x (2 + x)
(a+b)^2 = a^2 + %>2ab<% + b^2

你的侧边预览

x \to \infty lim e^{- x} = x \to \infty lim \frac{1}{e ^{x}} = 0

f (x) = x^{2} e^{x} = x e^{x} (2 + x)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

你的学生

x \to \infty lim e^{- x}

f (x) = x^{2} e^{x}

(a + b)^{2} = a^{2} + 00 + b^{2}

Alt+H 的作用就像文字处理软件里的粗体：按一下，接下来输入的内容会被隐藏；再按一下，后面的内容就会显示。在行中间闭合的隐藏部分会给学生留下一个空白，可以一起填写；一直延伸到行尾的隐藏部分则什么也不留，没人知道你在提前写。在隐藏部分中间按 Alt+H 会在该处开始一个新步骤（在其末尾连按两次也一样）；刚按过眼睛图标、还没输入任何内容时，它会收回这个标记。有选区时，它只隐藏你选中的内容：选中事先准备好的解答，按 Alt+H，就完成了。
在隐藏部分中按 Enter，下一行也会隐藏，即使中间隔了一个空行。Backspace 和 Delete 会穿过标记，删除标记之后的字符；在隐藏行的行首按 Backspace，它会与上一行合并，并保持隐藏。行首的眼睛图标位于页边距中：该行从它之后开始。连续的多个标记就是多个步骤：a %>= b %>= c 会先显示 a，然后显示 = b，再显示 = c。
Alt+R 会显示光标所在的步骤，连同同一隐藏部分中它之前的步骤（这些步骤会遮住它显示的内容）。有选区时，会一次显示选区涉及的所有步骤。在其他位置，则显示光标之后的下一步，并把光标移过去，这样再按一次 Alt+R 就会显示再下一步：预演准备好的解答时就是这样操作。按下 Alt+R 后会被显示的步骤，其眼睛图标会亮起；双击某个眼睛图标也能显示对应的步骤。在你学生的屏幕上，你显示的内容会亮一下，除非它正是你当前所在的步骤——那种情况已经用强调色画出来了。命令面板中的“显示全部”会先询问确认。
只有“显示”操作才会让内容出现。移动光标、跨标记删除、粘贴多行、在隐藏部分中间输入 <%：原本隐藏的内容仍然隐藏（“仍处于隐藏状态：只有 Alt+R 能显示它”），而在隐藏步骤中输入的内容完全不会发送给观看页。只有 Ctrl+Z 才能回到他们已经看过的文本。
编辑器中，眼睛图标标出隐藏部分或步骤的起点，小帽形标记标出隐藏部分的闭合处；隐藏文本显示在色带上，底部状态栏会说明还剩多少步（“隐藏 · 3”）。侧边预览会以淡色显示它们，位置正是它们将要出现的地方，页边距中还有眼睛图标；整块隐藏的内容还会加上边框。在图形中，隐藏的项以淡色显示：一条曲线、一个点、一行，连同它们在图例中的条目。
隐藏步骤只出现在你的侧边预览中：观看页标签页、直播、导出文件和已发布文稿都不会包含它们，只会保留闭合隐藏部分的空白（带空白的 PDF 就是一份练习纸）。它们和备注一样会保存在文稿中，所以在家里备好的课，在任何电脑上都能直接使用。
隐藏部分永远不会越过所在行的行尾。由于 %> 在任何位置都会开始隐藏，百分号后跟“大于”时需要加空格：20% > 10%；在隐藏部分中，“小于”后跟百分号也一样。空白的大小始终相同，不会泄露任何信息；在图形中，闭合的隐藏部分会被直接略去。

7直播

直播会把文稿发送到学生自己的设备上：比共享屏幕更清晰，每个人都能按自己的节奏往回翻。你需要教师账号，学生不需要。

开始直播。按 Alt+L。第一次会打开一个窗口登录，可以使用 Google 或邮箱验证码（验证码由 Cloudflare 发出：如果没收到，请检查垃圾邮件文件夹）。学生的链接会自动复制。对你这个账号来说，它 始终不变，在任何电脑上都一样，所以只需发送一次。 “复制直播链接”可以再次复制。

直播期间。状态栏会显示“直播中”、一个绿点以及正在观看的人数。切换文稿（Ctrl+P）会对所有观看者一起切换。

对学生而言。链接打开的文稿会随着你的书写而更新。如果他们往回翻，文稿就不再跟随你，直到他们点击“↓ 直播”（或按 End）。开始之前，他们会看到“等待中…”；连接中断时会显示 “正在重新连接…”，之后会自动恢复。

结束直播。再按一次 Alt+L：仍在连接的人会保留最后一个版本，之后打开链接的人则要等你下一次直播。如果你没有结束就关闭了编辑器，重新打开后会立即恢复直播，哪怕过了几天：要私下工作，请先结束直播。

登录有效期为 30 天。过期时编辑器会显示 “登录已过期：按 Alt+L 重新登录”。命令面板中的“退出登录”会立即结束登录。

8文稿

8.1打开、命名、删除

Ctrl+P 列出你的文稿，最近的在前：输入即可筛选， Enter 打开。Alt+N 新建一份，与当前文稿在同一位置。名称可以带子文件夹，最多两级：analysis1/limits；名称不能以点开头，也不能包含 \ : * ? " < > |。“重命名文稿” 和“删除文稿”在命令面板中；删除无法撤销。

8.2保存

无需手动保存：停止输入片刻后，编辑器会自动保存；只有未能保存时，状态栏才会显示提示。Ctrl+S 会立即保存。每隔几次击键，文本还会被保存在浏览器中作为保险：如果浏览器在保存前关闭，下次会有一条横栏提示恢复它。每份文稿重新打开时，光标和滚动位置都保持原样。

8.3来自别处的修改

如果文稿在此窗口之外被修改（另一个标签页、另一台电脑、文本编辑器），而你没有未保存的内容，编辑器会静默地重新加载（“已从磁盘重新加载”）；否则会用一条横栏询问你要保留哪个版本（2.2）。

8.4云端

对于获授权的教师，“登录并使用云端”会把云端文稿加入同一个列表：两者都存在时，Ctrl+P 会显示每份文稿的位置，云端文稿的名称后会显示“（云端）”。“移到云端”和“移到电脑” （或“移到此浏览器”）移动当前文稿；“把所有文稿移到云端”移动全部。移动永远不会覆盖：另一位置已有同名文稿时，操作会中止。

没有网络时，当前云端文稿仍可继续使用，状态栏会显示 “未保存：无法连接云端”：网络恢复后会自动保存，离开页面前会先询问。服务器不备份文稿：重要文稿请另存一份。最多 2000 份文稿，每份 512 KB。

8.5备份与导入

“下载所有文稿”会下载一个 .zip，包含某一位置的全部文稿（两者都有时，各有一个命令）。如果文稿在浏览器存储中，一周没有备份，编辑器会提醒你。“导入文稿或备份”接受 .math 文件或 .zip 备份，“导入文件夹”接受整个文件夹；两者都会写入当前文稿所在的位置，并对已存在的文稿询问一次。在不同浏览器之间迁移文稿也是用这个方法。

“更换文稿文件夹”切换到另一个文件夹； “同时把文稿保存在此浏览器”在云端之外再加上浏览器存储。

8.6退出登录

“退出登录”（后面带你的邮箱）会保存当前云端文稿，结束直播，并从该浏览器中清除云端的所有痕迹：在共用电脑上，下一个人找不到你的任何文稿。

9课后

9.1导出

Alt+E 按学生看到的样子导出文稿，不含备注和隐藏步骤（先执行“显示全部”可将其包含在内）：PDF （会打开打印对话框：选择“另存为 PDF”；每个 --- 开始新的一页）、 HTML（单个文件，可在任何浏览器中打开）、TeX （可编译的 LaTeX 文档）。“复制当前行的 LaTeX”复制光标所在行的 LaTeX，包含隐藏步骤。

9.2已发布文稿

直播链接显示的文稿会随着你的书写而变化。要发一份固定不变的文稿， “发布文稿”会保存它此刻的定格副本（也就是学生现在看到的样子），并复制其链接：之后的修改不会影响它。再次发布会生成另一份副本和另一个链接。“已发布文稿”会列出它们，当前文稿的副本排在最前：可以复制链接、打开副本或撤回（撤回后链接立即失效）。任何拿到链接的人都能打开，所以只发给应该看到的人。

10全部快捷键

在 Mac 上，Cmd 相当于 Ctrl，Option 相当于 Alt。如果浏览器用 Alt 加字母打开菜单，请加上 Shift：Alt+Shift+V 与 Alt+V 作用相同。字母按物理按键识别，与键盘布局无关。

按键	作用
`Ctrl+K`	命令面板
`Ctrl+P`	切换文稿
`Ctrl+S`	立即保存
`Alt+N`	新建文稿
`Alt+V`	打开观看页
`Alt+L`	开始或结束直播（首次使用需用 Google 或邮箱验证码登录，同时解锁云端；会复制链接）
`Ctrl+\`	侧边预览
`Alt+=` `Alt+-`	观看页缩放
`Alt+T`	纸张/黑板主题
`Alt+S`	观看页上当前块的横条和正在书写的步骤
`Shift+←` `Shift+→`…	在编辑器中选中的内容会在观看页上发光：选中一个符号即可指向它
`Alt+P`	观看页上的指针和绘图
`Esc`	清除绘图
`Alt+E`	导出（PDF、HTML、TeX）
`Alt+H`	开始或停止隐藏接下来输入的内容，就像文字处理软件里的粗体；有选区时则隐藏选区
`Alt+R`	显示光标所在的步骤、选中的步骤，或下一步（其眼睛图标会亮起）；双击眼睛图标也可以
`Alt+G`	在图像上：方向键移动窗口，Shift+方向键扩展，+ − 缩放，0 自动，Esc 完成
`Tab`	片段 / 下一个字段
`Ctrl+Z` `Ctrl+Shift+Z`	撤销、重做
`Alt+↑` `Alt+↓`	上下移动当前行
`F1`	此帮助
`Alt+Shift+…`	如果浏览器用 Alt+字母打开菜单，可加按 Shift；在 Mac 上 Cmd 相当于 Ctrl

按键

作用

Ctrl+K

命令面板

Ctrl+P

切换文稿

Ctrl+S

立即保存

Alt+N

新建文稿

Alt+V

打开观看页

Alt+L

开始或结束直播（首次使用需用 Google 或邮箱验证码登录，同时解锁云端；会复制链接）

Ctrl+\

侧边预览

Alt+= Alt+-

观看页缩放

Alt+T

纸张/黑板主题

Alt+S

观看页上当前块的横条和正在书写的步骤

Shift+← Shift+→…

在编辑器中选中的内容会在观看页上发光：选中一个符号即可指向它

Alt+P

观看页上的指针和绘图

Esc

清除绘图

Alt+E

导出（PDF、HTML、TeX）

Alt+H

开始或停止隐藏接下来输入的内容，就像文字处理软件里的粗体；有选区时则隐藏选区

Alt+R

显示光标所在的步骤、选中的步骤，或下一步（其眼睛图标会亮起）；双击眼睛图标也可以

Alt+G

在图像上：方向键移动窗口，Shift+方向键扩展，+ − 缩放，0 自动，Esc 完成

Tab

片段 / 下一个字段

Ctrl+Z Ctrl+Shift+Z

撤销、重做

Alt+↑ Alt+↓

上下移动当前行

F1

此帮助

Alt+Shift+…

如果浏览器用 Alt+字母打开菜单，可加按 Shift；在 Mac 上 Cmd 相当于 Ctrl

11全部命令

全部命令都在命令面板（Ctrl+K）中；有些只在可用时出现（登录后才有云端命令，有隐藏内容时才有显示命令）。

命令	作用
切换文稿 `Ctrl+P`	打开另一份文稿
新建文稿 `Alt+N`	新建文稿，与当前文稿在同一位置
重命名文稿	重命名当前文稿，包括子文件夹
删除文稿	删除文稿，会先询问
保存 `Ctrl+S`	立即保存
打开观看页 `Alt+V`	在新标签页中打开观看页，用于共享
开始直播 · 结束直播 `Alt+L`	开始或结束直播（首次使用会要求登录）
复制直播链接	复制学生的链接
开始或停止隐藏 `Alt+H`	开始或停止隐藏接下来输入的内容，或隐藏选区（6.5）
显示下一步 `Alt+R`	显示光标所在的步骤、选中的步骤，或下一步：名称会说明是哪一个
显示全部	一次显示所有隐藏步骤，会先询问
图像：移动窗口 `Alt+G`	移动光标所在图像的窗口
发布文稿	文稿的定格副本，附一个链接
已发布文稿	已发布文稿：复制链接、打开或撤回
侧边预览 `Ctrl+\`	编辑器右侧的观看页
观看页：放大 · 观看页：缩小 `Alt+=` `Alt+-`	放大或缩小所有观看页
观看页：黑板主题 · 观看页：纸张主题 `Alt+T`	纸张或黑板主题，作用于所有观看页
观看页：隐藏当前块和步骤 · 观看页：显示当前块和步骤 `Alt+S`	当前块的横条和当前步骤
观看页：关闭指针和绘图 · 观看页：开启指针和绘图 `Alt+P`	指针和绘图
清除绘图 `Esc`	清除绘图
小数逗号：开启 · 小数逗号：关闭	小数逗号
语言：English	界面的另一种语言
导出 PDF（打印） · 导出 HTML · 导出 TeX `Alt+E`	PDF、HTML、TeX
复制当前行的 LaTeX	光标所在行的 LaTeX，可粘贴到别处
登录并使用云端	云端文稿，使用 Google 账号或验证码
移到云端 · 移到电脑 · 移到此浏览器	把当前文稿移到另一位置
把所有文稿移到云端	把所有本地文稿移到云端
下载所有文稿 · 下载电脑上的所有文稿 · 下载此浏览器的所有文稿 · 下载云端的全部文稿	包含某一位置全部文稿的 .zip
导入文稿或备份	.math 文件或 .zip 备份
导入文件夹	文件夹中的所有文稿
更换文稿文件夹 · 为文稿选择一个文件夹	另一个文件夹中的文稿
同时把文稿保存在此浏览器	浏览器存储，与云端并存
退出登录	结束登录，并清除此浏览器中的云端痕迹
帮助 `F1`	帮助

命令

作用

切换文稿 Ctrl+P

打开另一份文稿

新建文稿 Alt+N

新建文稿，与当前文稿在同一位置

重命名文稿

重命名当前文稿，包括子文件夹

删除文稿

删除文稿，会先询问

保存 Ctrl+S

立即保存

打开观看页 Alt+V

在新标签页中打开观看页，用于共享

开始直播 · 结束直播 Alt+L

开始或结束直播（首次使用会要求登录）

复制直播链接

复制学生的链接

开始或停止隐藏 Alt+H

开始或停止隐藏接下来输入的内容，或隐藏选区（6.5）

显示下一步 Alt+R

显示光标所在的步骤、选中的步骤，或下一步：名称会说明是哪一个

显示全部

一次显示所有隐藏步骤，会先询问

图像：移动窗口 Alt+G

移动光标所在图像的窗口

发布文稿

文稿的定格副本，附一个链接

已发布文稿

已发布文稿：复制链接、打开或撤回

侧边预览 Ctrl+\

编辑器右侧的观看页

观看页：放大 · 观看页：缩小 Alt+= Alt+-

放大或缩小所有观看页

观看页：黑板主题 · 观看页：纸张主题 Alt+T

纸张或黑板主题，作用于所有观看页

观看页：隐藏当前块和步骤 · 观看页：显示当前块和步骤 Alt+S

当前块的横条和当前步骤

观看页：关闭指针和绘图 · 观看页：开启指针和绘图 Alt+P

指针和绘图

清除绘图 Esc

清除绘图

小数逗号：开启 · 小数逗号：关闭

小数逗号

语言：English

界面的另一种语言

导出 PDF（打印） · 导出 HTML · 导出 TeX Alt+E

PDF、HTML、TeX

复制当前行的 LaTeX

光标所在行的 LaTeX，可粘贴到别处

登录并使用云端

云端文稿，使用 Google 账号或验证码

移到云端 · 移到电脑 · 移到此浏览器

把当前文稿移到另一位置

把所有文稿移到云端

把所有本地文稿移到云端

下载所有文稿 · 下载电脑上的所有文稿 · 下载此浏览器的所有文稿 · 下载云端的全部文稿

包含某一位置全部文稿的 .zip

导入文稿或备份

.math 文件或 .zip 备份

导入文件夹

文件夹中的所有文稿

更换文稿文件夹 · 为文稿选择一个文件夹

另一个文件夹中的文稿

同时把文稿保存在此浏览器

浏览器存储，与云端并存

退出登录

结束登录，并清除此浏览器中的云端痕迹

帮助 F1

帮助

12语言

界面提供八种语言：English、Italiano、Español、Deutsch、Français、简体中文、 हिन्दी 和 Русский。它会跟随浏览器语言，也可以用命令面板中的“语言：……” 切换。语言还会决定新浏览器的默认小数逗号，以及 TeX 导出的 babel 设置。这些页面有自己的语言菜单，位于顶部。

13访问与隐私

直播和云端面向拥有账号的教师和辅导老师，账号免费：请在首页申请。使用你提供的邮箱地址登录，可以通过 Google 账号或邮箱一次性验证码。学生永远不需要账号，也不会收到 cookie。

你的文稿保存在自己的电脑上，除非你选择保存在云端；每项数据的处理方式见隐私页面。